Разрезни усилия в греди

Загадка

Вземи пластмасова линийка и я подпри в двата края върху две книги. Натисни я с пръст по средата. Линийката се огъва.

Сега премести пръста близо до едната книга и натисни със същата сила. Линийката почти не се огъва.

Силата е същата. Опорите са същите. Защо тогава линийката „страда“ повече, когато натискаш по средата?

Отговорът не е в това колко силно натискаш, а в това какво става вътре в линийката.

Виж

Гредата по-долу е подпряна в двата края и е натоварена с една сила. Под схемата има две диаграми. Те показват какво се случва вътре в гредата във всяка нейна точка.

Проста греда с дължина 6 m и сила 30 kN на 2,4 m от лявата опора. Горе е схемата, под нея – диаграмата на напречната сила Q и диаграмата на огъващия момент M.

Диаграмата M има връх точно под силата. Там гредата е най-натоварена на огъване. Ако преместиш силата към опората, върхът става по-нисък – точно това усети с линийката.

Разбери

Какво са разрезните усилия

Представи си, че срязваш гредата с въображаем нож на произволно място. Двете части не се разпадат, защото материалът ги държи. Силите, с които едната част държи другата, се наричат разрезни усилия.

В равнинна задача те са три:

• Нормална сила $N$ – действа по оста на гредата. Опъва я или я натиска.
• Напречна сила $Q$ – действа напречно на оста. Стреми се да плъзне едната част спрямо другата, като ножица.
• Огъващ момент $M$ – стреми се да завърти сечението и така огъва гредата.

При греди с товари, перпендикулярни на оста, нормалната сила е нула. Затова в тази глава работим с $Q$ и $M$.

Метод на сечението

Начинът да намериш разрезните усилия се нарича метод на сечението. Има три стъпки:

1. Срязваш мислено гредата в мястото, което те интересува.
2. Избираш една от двете части – лявата или дясната – и изхвърляш другата.
3. Пишеш условията за равновесие на избраната част. Неизвестни са разрезните усилия в сечението.

Двете части дават един и същ резултат. Избираш тази, върху която има по-малко сили.

Гредата е срязана на две части. Върху всяко сечение са показани положителните посоки на N, Q и M.

Знаци

За да не спорим кое е „плюс“, приемаме правило, което важи в целия курс:

• $N > 0$, когато опъва гредата.
• $Q > 0$, когато върти отрязаната част по часовниковата стрелка.
• $M > 0$, когато опъва долните нишки. Долната страна означаваме с пунктир и я наричаме пунктирано влакно.

Как се смятат Q и M на практика

Ако работиш с лявата част и вървиш отляво надясно:

• $Q$ в сечението е сборът на всички сили вляво от него. Силите нагоре са с плюс, силите надолу – с минус.
• $M$ в сечението е сборът на моментите на всички сили вляво от него спрямо самото сечение. Сила нагоре дава плюс, сила надолу – минус.

Преди това ти трябват опорните реакции – силите, с които опорите държат гредата. Намираш ги от равновесието на цялата греда, както в Теоретична механика.

Решен пример

Задача. Проста греда с дължина $L = 6$ m е натоварена със сила $F = 30$ kN на разстояние $2{,}4$ m от лявата опора A. Намери опорните реакции и начертай диаграмите Q и M.

Стъпка 1. Опорни реакции. Събираме моментите спрямо точка A. Реакцията $B$ е на рамо 6 m, силата – на рамо 2,4 m:

$$B \cdot 6 - 30 \cdot 2{,}4 = 0 \quad\Rightarrow\quad B = 12 \text{ kN}$$

От сбора на вертикалните сили:

$$A = 30 - 12 = 18 \text{ kN}$$

Стъпка 2. Участък вляво от силата ($0 \le x < 2{,}4$ m). Вляво от сечението е само реакцията $A$:

$$Q = 18 \text{ kN}, \qquad M = 18 \cdot x$$

В края на участъка, при $x = 2{,}4$ m:

$$M = 18 \cdot 2{,}4 = 43{,}2 \text{ kN·m}$$

Стъпка 3. Участък вдясно от силата ($2{,}4 < x \le 6$ m). Вляво от сечението вече са и реакцията, и силата:

$$Q = 18 - 30 = -12 \text{ kN}$$ $$M = 18 \cdot x - 30 \cdot (x - 2{,}4)$$

При $x = 6$ m: $M = 108 - 108 = 0$. В опората моментът е нула, както трябва.

Стъпка 4. Диаграмите. Те са на фигурата в „Виж“. Обърни внимание на три неща:

• $Q$ е постоянна във всеки участък и скача с 30 kN точно под силата: от $+18$ на $-12$.
• $M$ расте по права линия до силата и после намалява по права линия.
• Най-големият момент е $43{,}2$ kN·m и е под силата – там, където $Q$ сменя знака.

Проверка. Сметни момента под силата и от дясната част: $12 \cdot 3{,}6 = 43{,}2$ kN·m. Същото число. Двете части винаги трябва да дадат еднакъв резултат.

В реалния живот

Погледни балкон на жилищен блок. Плочата му излиза от стената и няма подпора в другия край. Такава греда, запъната само в единия край, се нарича конзола.

Ивица от балконна плоча с дължина 1,5 m и товар 7 kN/m. Диаграмата M е над оста – опънати са горните нишки.

При конзолата моментът е най-голям при стената и опъва горните нишки. Затова армировката на балкона се слага горе. Ако работник я стъпче и тя падне на дъното на кофража, плочата остава без стомана точно там, където се опъва.

Провери се

Запомни

Разрезните усилия показват какво става вътре в гредата. Намираш ги по метода на сечението: срязваш, избираш едната част и пишеш равновесие.

Напречната сила е сборът на силите от едната страна на сечението, а огъващият момент – сборът на моментите им.

В греда на две опори моментът е най-голям там, където напречната сила сменя знака си; в конзола – в запъването. Диаграмата M се чертае от страната на опънатите нишки.